Уравнение следствие. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение f (x) = g (x) считается равносильным уравнению r (x) = s (x) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение f (x) = g (x) имеет то же множество корней, что и уравнение p (x) = h (x) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f (x) = g (x) будет уравнение p (x) = h (x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x · 2 = 32 будет следствием x − 3 = 0 , поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 будет следствием x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 , потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3 , которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

1. Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
2. Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
3. Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо повторить, какое уравнение называется уравнением-следствием, какие теоремы «беспокойные» и из каких этапов состоит решение любого уравнения.

Определение. Если каждый корень уравнения эф от икс равно же от икс (обозначим его цифрой один) является в то же время корнем уравнения пэ от икс, равное аш от икс (обозначим его цифрой два), то уравнение два называют следствием уравнения один.

Теорема четвертая. Если обе части уравнения эф от икс равно же от иксумножить на одно и то же выражение аш от икс, которое:

Во- первых, имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения эф от икс, равное же от икс.

Во-вторых, нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение эф от икс, умноженное на аш от икс равно же от икс, умноженное на аш от икс, равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема пятая . Если обе части уравнения

эф от икс равно же от икснеотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение эф от икс в энной степени равно же от иксв энной степени равносильное данному уравнению в его о дэ зэ.

Теорема шестая . Пусть а больше нуля, а не равное единице, и эф от икс больше нуля,

жэ от икс больше нуля,тологарифмическое уравнение логарифм эф от икс по основанию а, равное логарифму жэ от икс по основанию а,

равносильно уравнению эф от икс равно же от икс.

Как мы уже говорили, решение любых уравнений происходит в три этапа:

Первый этап — технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому уравнению, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап — проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию.

На этом уроке мы выясним, при применении каких преобразований данное уравнение переходит в уравнение-следствие? Рассмотрим следующие задания.

Задание 1

Какое уравнение является следствием уравнения икс минус три равно двум?

Решение

Уравнение икс минус три равно двум имеет единственный корень — икс равно пяти. Умножим обе части этого уравнения на выражение икс минус шесть, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно пяти; икс второе равно шести. Оно уже содержит два корня. Уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю содержит единственный корень — икс равно пяти; уравнения икс минус три равно двум, поэтому икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 2

Какое еще уравнение является следствием уравнения х-3=2?

Решение

В уравнении икс минус три равно двум возведем в квадрат его обе части, применим формулу квадрата разности, приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю.

Вычислим его корни: икс первое равно пяти, икс второе равно единице.

Корень икс равно единице является посторонним для уравнения икс минус три равно двум. Это получилось потому, что обе части исходного уравнения возвели в квадрат (четная степень). Но при этом его левая часть — икс минус три — может быть отрицательной (нарушены условия теоремы пять ). Значит, уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 3

Найти уравнение-следствие для уравнения

логарифм выражения икс плюс один по основанию три плюс логарифм выражения икс плюс три по основанию три равно единице.

Решение

Представим единицу как логарифм трех по основанию три, потенцируем логарифмическое уравнение, выполним умножение, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно нулю, икс второе равно минус четырем. Корень икс равно минус четырем является посторонним для логарифмического уравнения, так как при подстановке его в логарифмическое уравнение выражения икс плюс один и икс плюс три принимают отрицательные значения — нарушены условия теоремы шесть .

Значит, уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю является следствием данного уравнения.

На основании решения этих примеров, мы можем сделать вывод : уравнение-следствие получается из данного уравнения путем расширения области определения уравнения. А это возможно при выполнении таких преобразований, как

1)избавление от знаменателей, содержащих переменную величину;

2)возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3)освобождение от знаков логарифмов.

Запомните!Если в процессе решения уравнения произошло расширение области определения уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

Задание 4

Решить уравнение икс минус три, деленное на икс минус пять, плюс один, деленное на икс, равно икс плюс пять, деленное на икс, умноженное на икс минус пять.

Решение

Первый этап - технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на выражение икс умноженное на иксминус пять.

Получим квадратное уравнение икс квадрат минус три икс минус десять равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно пяти, икс второе равно минус двум.

Второй этап- анализ решения.

При решении уравнения, мы его обе части умножили на выражение, содержащее переменную. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

При икс равном минусдваобщийзнаменатель не обращается в нуль. Значит, икс равно минусдваявляется корнем данного уравнения.

При икс равном пяти общий знаменатель обращается в нуль. Поэтому икс равно пяти - посторонний корень.

Ответ: минус два.

Задание 5

Решить уравнение квадратный корень из икс минус шесть равно квадратному корню из четырех минус икс.

Решение

Первый этап — технический.

Для того чтобы получить простое уравнение и решить его, выполним цепочку преобразований.

Возведем в квадрат (четная степень) обе части этого уравнения, перенесем иксы в левую часть, а числа в правую часть уравнения, приведем подобные слагаемые, получим: два икс равно десяти. Икс равен пяти.

Второй этап- анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

При решении уравнения, мы его обе части возвели в квадрат. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен пяти, выражение квадратный корень из четырех минус икс не определено, поэтому икс, равный пяти - посторонний корень. Значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Задание 6

Решить уравнение натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь равно натуральному логарифму выражения икс минус один.

Решение

Первый этап — технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого потенцируем

уравнение, перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, приведем подобные члены, получим квадратное уравнение икс квадрат плюс икс минус шесть равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно двум, икс второе равно минус трем.

Второй этап - анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

В процессе решения данного уравнения мы освободились от знаков логарифмов. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен двум, то получаем натуральный логарифм единицы равен натуральному логарифму единицы —

верное равенство.

Значит, икс равный двум - корень данного уравнения.

Если икс равен минус трем, то натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь и натуральный логарифм выражения икс минус один не определены. Значит, икс равный минус трем — посторонний корень.

Ответ: два.

Всегда ли нужно при решении уравнения выделять три этапа? Каким еще способом можно выполнить проверку?

Ответы на эти вопросы мы получим на следующем уроке.

Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы "Уравнения - следствия" по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»

УРАВНЕНИЯ - СЛЕДСТВИЯ

УСТНАЯ РАБОТА

• Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
• Что называют переходом к уравнению-следствию
• Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?

УСТНАЯ РАБОТА

• √ х= 6
• √ х-2 = 3
• 3 √х= 4;
• √ х 2 =9
• √ х+4=-2
• √ х+1+√х+2=-2

Решений нет

Решений нет

УСТНАЯ РАБОТА

Решений нет

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Преобразование

Влияние на корни уравнения

Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)

Может привести к появлению посторонних корней

Освобождение уравнения от знаменателей:

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или

Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.

Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.

Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

№ 8.2 2 (а) Решите уравнение :

2) № 8.23(а)

№ 8.24 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.25 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.28 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.29 (а,в) Решите уравнение :

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
• № 8.25(б,г)
• 8.28 (б,г)
• 8.29 (б,г)

При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

Определение: Уравнение

равносильно уравнению

если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3x-6=0; 2х-1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.

Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.

Тот факт, что уравнения

f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x)

равносильны, обозначают так:

f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Докажем, что уравнение

f(x) = g(x)+q(x) (1)

равносильно уравнению

f(x) - q(x) = g(x) (2)

Пусть х=а - корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство

Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство

показывающее, что а - корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: докажем, что уравнение

равносильно уравнению

решим уравнение

и уравнение

• 2х-1=0
• 6х=3 2х=1

так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим уравнение

ОДЗ этого уравнения {х? 1, х? -3}

Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е.

а знаменатель не равен 0. Решая уравнение

находим корни х1=1, х2 = -2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.

В этом случае говорят, что уравнение

есть следствие уравнения

пусть даны два уравнения:

f1 (x) = g1 (x) (3)

f2 (x) = g2 (x) (4)

Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).

Этот факт записывают так:

В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

В приведенном выше примере уравнение - следствие

имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения

В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.

Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению - следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения - корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения

и потому отброшен.

Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения

ОДЗ которого {х -2},

В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.

Например, уравнение

(х+1)(х+3)= х+1 (5)

Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим

откуда находим

Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение

имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.

Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.

Пусть даны два уравнения

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением-следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение

и умножим обе его части на одно и то же выражение имеющее смысл при всех значениях х. Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения . Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней.

Итак, если обе части уравнения умножить на выражение имеющее смысл при любых значениях х, то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение будет равносильно исходному, если уравнение не имеет корней. Заметим, что обратное преобразование, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) путем деления обеих частей уравнения (4) на выражение как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений (в этом случае могут «потеряться» корни уравнения Например, уравнение имеет два корня: 3 и 4. Деление же обеих частей уравнения на приводит к уравнению - имеющему только один корень 4, т. е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения , т. е. уравнение - следствие уравнения (3).